inscriptibles, chacun en particulier, et du Théorème XII que les centres des cercles circonscrits sont sur la droite qui passe par le centre du cercle inscrit et par le point où concourent toutes les diagonales. Il résulte enfin de tout ce que nous venons de prouver que la distance du centre de chacun des cercles circonscrits au centre du cercle inscrit est et que, par conséquent, cette distance est constante ; d’où il suit d’abord que les centres des cercles circonscrits se confondent tous au point de tel que Mais le point devant être le pôle d’une même droite, relativement au cercle et à chacun de ces cercles circonscrits, et ce point étant déjà le pôle de la droite relativement au cercle on aura aussi donc, puisque le point est le même pour tous ces cercles, et étant constans, tous ces cercles auront le même centre et le même rayon, et conséquemment tous nos quadrilatères seront inscrits à un même cercle.
THÉORÈME XVI. Si un quadrilatère est à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre cercle, il y aura une infinité d’autres quadrilatères qui seront aussi inscrits au premier cercle et circonscrits au second, dont les diagonales passeront toutes par un même point, et dont les points de concours des directions des côtés opposés seront sur une même droite, polaire de ce point par rapport à l’un et à l’autre cercles.
Démonstration. En effet, par le point de concours des diagonales de notre quadrilatère, menons deux cordes orthogonales quelconques du cercle inscrit, et circonscrivons à ce cercle un quadrilatère dont les points de contact soient les extrémités de ces cordes ; il résulte du précédent théorème que ce quadrilatère et le premier devront être inscrits au même cercle ; mais le premier est déjà inscrit à un cercle, auquel le second devra conséquemment être aussi inscrit ; il y aura donc une infinité d’autres quadrilatères jouissant de la même propriété que le premier.
