gueur n’auront d’autre effet que de lui faire parcourir cette courbe qui pourra le remplacer, par rapport au mobile, sans que les circonstances de son mouvement en soient aucunement altérées. Le problème se trouve donc ramené à la recherche des circonstances du mouvement d’un point matériel pesant le long d’une courbe plane dont le plan est vertical, c’est-à-dire, à un problème complètement traité dans tous les ouvrages élémentaires.
PROBLÈME III. On a fait des sections dans un polyèdre régulier, par des plans indéfinis, perpendiculaires sur les milieux de toutes ses arêtes. On a opéré de la même manière sur tous les corps résultant de cette première décomposition, et ainsi de suite indéfiniment. On demande, pour chacun des cinq polyèdres réguliers, quels seront, après un nombre quelconque de semblables opérations, le nombre et la nature de parties résultantes ?
Réflexions. La solution de ce problème se présente pour ainsi dire d’elle-même pour l’hexaèdre, attendu qu’on obtient constamment des hexaèdres, et qu’à chaque opération on en obtient un nombre huit fois plus grand ; de sorte qu’après un nombre d’opérations le nombre des hexaèdres obtenus est
Mais le problème semble tout-à-fait inabordable pour tous les autres polyèdres réguliers, attendu que, dès la première opération, on cesse d’obtenir des polyèdres réguliers. Pour le tétraèdre, par exemple, une première opération donne vingt-quatre tétraèdres partiels, égaux entre eux ; mais ces tétraèdres ne sont plus réguliers et une seconde opération les décompose en portions si peu régulières qu’il devient déjà très-difficile d’en assigner le nombre et la nature ; et l’on conçoit qu’il en serait de même, à plus forte raison, pour les opérations subséquentes. Ce serait bien pire encore s’il s’agissait des autres polyèdres différens du cube.
Ce serait vainement qu’on tenterait de rendre le problème plus traitable en assujettissant les plans coupant à des conditions différentes. Si, par exemple, on exigeait que ces plans passassent par
