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Cette valeur de $x,$ substituée dans l’équation, donnera $y={\frac {t}{p}}\,;$ substituant ensuite les valeurs de $x$ et $y$ dans l’inégalité, elle deviendra, en divisant par $2t,$ chassant le dénominateur et transposant,

$p^{2}-2p+1<0,\quad$ou$\quad (p-1)^{2}<0\,;$

conclusion absurde qui prouve la vérité de la proposition que nous voulions démontrer.

Il est facile d’en conclure qu’à l’inverse de tous les rectangles de même périmètre le carré a le maximum de surface ; car, en admettant que la surface d’un certain rectangle $\mathrm {R}$ pût excéder celle d’un carré $\mathrm {C}$ de même périmètre ; on n’aurait qu’à construire un rectangle $\mathrm {R} '$ semblable à $\mathrm {R}$ et équivalent à $\mathrm {C} \,;$ et ce rectangle se trouverait d’un moindre périmètre que $\mathrm {C} ,$ contrairement à ce qui vient d’être démontré.

II. Soit $t$ l’arête d’un cube donné ; son volume sera $t^{3}$ et sa surface $6t^{2}.$ Si l’on nie que cette surface soit minimum parmi celles des parallélipipèdes rectangles équivalens au cube dont il s’agit, il faudra admettre qu’il existe un parallélépipède rectangle, équivalant au cube donné, ayant une surface moindre que la sienne. Soient $x,y,z$ les trois dimensions de ce parallélipipède ; son volume sera, $xyz$ et sa surface $2(xy+xz+yz)\,;$ et l’on devra avoir

$xyz=t^{3},\qquad 2(xy+xz+yz)<6t^{2}.$

En vertu de $xyz=t^{3},$ si, comme on le suppose, les trois quantités $x,y,z$ ne sont pas égales entre elles et conséquemment à $t,$ il y en aura au moins une plus grande et une autre plus petite que $t.$ En effet, on n’en saurait d’abord supposer deux égales à $t,$ puisqu’alors la troisième devrait l’être aussi ; et si l’on