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pour obtenir la valeur complète de $e^{z{\sqrt {-1}}}.$ Par suite de cette remarque, on n’aura pas, comme ci-dessus, $\operatorname {Cos} .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z=1,$ mais

$\operatorname {Cos} .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z=\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{k}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{k}}\,;$

d’où

$z=2m\varpi -{\frac {2p\varpi }{k}}\,;$

donc

$\operatorname {Log} .y=r+\left(2m-{\frac {2p}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}}.$

On trouvera par un raisonnement analogue,

$\operatorname {Log} .(-y)=r+\left(2m'+1-{\frac {2p'}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}}.$

Si présentement $k$ est un nombre pair, que nous représenterons par $2n,$ nous aurons,

$\operatorname {Log} .y=r+\left(2m-{\frac {p}{n}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},$

$\operatorname {Log} .(-y)=r+\left(2m'+1-{\frac {p'}{n}}\right)\varpi {\sqrt {-1}}\,;$

et, dans le cas présent, on verra facilement que, pour une valeur quelconque de $\operatorname {Log} .y,$ il en existe toujours une de $\operatorname {Log} .(-y)$ qui coïncide avec elle.

Si ensuite $k$ est un nombre impair, en le représentant par $2n+1\,;$ nous aurons

$\operatorname {Log} .y=r+\left(2m-{\frac {2p}{2n+1}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},$

$\operatorname {Log} .(-y)=r+\left(2m'+1-{\frac {2p'}{2n+1}}\right)\varpi {\sqrt {-1}}\,;$