pour obtenir la valeur complète de
Par suite de cette remarque, on n’aura pas, comme ci-dessus,
mais
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z=\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{k}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{k}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe752139615a34b03c8a7ae0b20e46438ccabd2)
d’où
![{\displaystyle z=2m\varpi -{\frac {2p\varpi }{k}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee2fb635796cc812a4c95fc05379bee8ec39a29)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Log} .y=r+\left(2m-{\frac {2p}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efbbcd70c9d6b51acba06abc7cef6a12b500975)
On trouvera par un raisonnement analogue,
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(-y)=r+\left(2m'+1-{\frac {2p'}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b096deb719865eafb9000c647850cb7455edc949)
Si présentement
est un nombre pair, que nous représenterons par
nous aurons,
![{\displaystyle \operatorname {Log} .y=r+\left(2m-{\frac {p}{n}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7214690b5f864ee21b2660de82470a732063bc5)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(-y)=r+\left(2m'+1-{\frac {p'}{n}}\right)\varpi {\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e821a86ae2a6d8e3f78e925c92c53055372d9104)
et, dans le cas présent, on verra facilement que, pour une valeur quelconque de
il en existe toujours une de
qui coïncide avec elle.
Si ensuite
est un nombre impair, en le représentant par
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {Log} .y=r+\left(2m-{\frac {2p}{2n+1}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b34157f7c308234c8a4b3002f406315f2697c9b)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(-y)=r+\left(2m'+1-{\frac {2p'}{2n+1}}\right)\varpi {\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2d9059b472e0206e31f86d2e70f619666fb0c2)