page 26 du précédent volume ; aussi, est-ce, en effet, en cherchant à résoudre ce même problème par des considérations purement géométriques que M. Sturm y est parvenu. M. Vecten remarque encore que M. Brianchon, dans son Mémoire sur les lignes du second ordre (art. lxvii), a fait voir comment, au moyen de la propriété de l’hexagone inscrit à une section conique, on pouvait démontrer la première partie du théorème ; mais il s’est contenté d’énoncer la seconde, qui en est en effet une conséquence nécessaire.
THÉORÈME II. Toute corde d’une hyperbole divise en deux parties égales la portion de l’une ou de l’autre asymptote comprise entre les tangentes à ses deux extrémités.
Démonstration. Ce théorème est une conséquence manifeste du précédent. Il en résulte, en effet, que la partie d’une asymptote comprise entre la corde et la tangente à l’une de ses extrémités doit être égale à la portion de la même asymptote comprise entre cette même corde et la tangente à son autre extrémité.
M. Vecten remarque que ce théorème fait le sujet de l’art. lxviii de l’ouvrage déjà cité de M. Brianchon, où il l’énonce comme une conséquence de l’art. lxvii; mais qu’il peut être aussi directement démontré par des considérations analogues à celles qui conduisent à la démonstration du premier, sans le faire dépendre de celui-ci.
THÉORÈME III. Si, sur une corde d’une hyperbole, considérée comme diagonale, on construit un parallélogramme dont les côtés soient respectivement parallèles aux deux asymptotes de la courbe ; l’autre diagonale de ce parallélogramme, prolongée s’il est nécessaire, passera par le centre de cette courbe.
Démonstration. Soit (fig. 15) une corde d’une hyperbole sur laquelle, comme diagonale, soit construit le parallélogramme dont les côtés opposés soient respectivement parallèles aux deux asymptotes de la courbe, dont nous supposons le centre en Soient les points où les directions des côtés opposés
