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la droite $\alpha \beta$ est parallèle à $\mathrm {BD,}$ et par conséquent le quadrilatère $\mathrm {D\alpha \beta B}$ est un parallélogramme. Ce parallélogramme est équivalent au triangle $\mathrm {BED,}$ puisqu’il a même base $\mathrm {BD}$ et une hauteur moitié de la sienne.

Parce que $\mathrm {D} '$ et $d$ sont les milieux respectifs de $\mathrm {DE}$ et $\mathrm {BD,}$ la droite $\mathrm {D'} \gamma$ est parallèle à $\mathrm {EB,}$ et par conséquent le quadrilatère $\mathrm {B\gamma \mu E}$ est un parallélogramme. Ce parallélogramme est aussi équivalent au triangle $\mathrm {BED} ,$ puisqu’il a même base $\mathrm {BE}$ et une hauteur moitié de la sienne.

Les deux parallélogrammes $\mathrm {D\alpha \beta B}$ et $\mathrm {B\gamma \mu E}$ se trouvant ainsi équivalens à un même triangle sont aussi équivalens entre eux, et la figure $\gamma \delta \eta \mu$ est aussi un parallélogramme.

Les deux parallélogrammes $\mathrm {\gamma BE\mu }$ et $\gamma \delta \varepsilon \mu$ étant compris entre les mêmes parallèles sont entre eux dans le rapport de leurs bases $\mathrm {E\mu }$ et $\mu \varepsilon ,$ ou dans le rapport de $e\zeta$ à $\zeta e'$ ou encore, à cause des parallèles, dans le rapport de $\lambda d$ à $\operatorname {d} '.$

Les deux parallélogrammes $\mathrm {B\beta \alpha D}$ et $\mathrm {B\eta \theta D}$ étant compris entre les mêmes parallèles, sont entre eux dans le rapport de leurs bases $\mathrm {\alpha D}$ et $\mathrm {D\theta ,}$ ou, ce qui revient au même, dans le rapport de $\lambda d$ à $\operatorname {d} '.$

Donc, à cause du rapport commun de $\lambda d$ à $\operatorname {d} ',$ les deux parallélogrammes $\gamma \mathrm {BF} \mu$ et $\gamma \delta \varepsilon \mu$ sont entre eux respectivement comme les deux parallélogrammes $\mathrm {B\beta \alpha D}$ et $\mathrm {B\eta \theta D} \,;$ puis donc que $\gamma \mathrm {BE} \mu$ et $\mathrm {B\beta \alpha D}$ sont équivalens entre eux et au triangle $\mathrm {BED,}$ les deux parallélogrammes $\gamma \delta \varepsilon \mu$ et $\mathrm {B\eta \theta D}$ doivent aussi être équivalens.

Donc le parallélogramme total $\mathrm {B\delta \varepsilon E}$ doit être équivalent au parallélogramme total $\beta \varepsilon \theta \alpha \,;$ mais ce dernier est équivalent au pentagone proposé $\varepsilon \mathrm {BED} \theta \,;$ donc le premier doit aussi lui être équivalent.

PROBLÈME II. Transformer un polygone rectiligne donné quelconque en un parallélogramme équivalent qui ait pour un de ses côtés un quelconque des côtés du polygone, et dont les deux côtés adjacens à celui-là soient parallèles à une droite donnée ?

Solution. Soient $\mathrm {A,B,C,D,E,} \ldots$ (fig. 13) les sommets