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en développant et observant que $uv=1,$ et que conséquemment

$u^{2}+v^{2}=(u+v)^{2}-2uv=(u+v)^{2}-2=4\operatorname {Cos} .^{2}x-2,$

on trouvera

$\operatorname {Sin} .^{2}2S=4\operatorname {Cos} .^{2}x-4+2{\sqrt {4-4\operatorname {Cos} .^{2}x}}=4\operatorname {Sin} .x-4\operatorname {Sin} .^{2}x,$

donc

$\operatorname {Sin} .2S=2{\sqrt {\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .^{2}x}}\quad$et$\quad 2S=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=2{\sqrt {\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .^{2}x}}\right),$

c’est-à-dire,

$S={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=2{\sqrt {\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .^{2}x}}\right).$^[1]

1. M. Querret trouve (tom. XIII, pag. 357)
   $S={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1),$

   résultat inconciliable avec celui que nous venons d’obtenir. Afin donc de découvrir quel est celui des deux qui doit être admis, recourons à des cas particuliers. Si, dans la série, nous faisons, tour-à-tour, $x=0$ et $x={\frac {\varpi }{2}}$ elle deviendra, dans le premier cas,

   ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {1}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {1}{7}}+\ldots$

   développement connu de ${\frac {\varpi }{2}},$ tandis que, dans le second, elle deviendra zéro ; et c’est aussi ce que donne notre formule sommatoire ; tandis que celle de M. Querret donne constamment, dans les mêmes circonstances,

   $S={\frac {\varpi }{2}}.$