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sairement, pour qu’elle passe d’une nature à une autre, que la variation de $t$ fasse changer les signes d’un ou de plusieurs de ces coefficiens, ce qui, comme l’on sait, ne pourra avoir lieu qu’autant qu’ils passeront par zéro ou par l’infini.

Ainsi, par exemple, l’équation

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z{\sqrt {t}}}{c}}\right)^{2}=1,$

tant que $t$ est positif, exprime un ellipsoïde dont les diamètres dirigés suivant les axes des $x$ et des $y$ sont constans et égaux à $2a$ et $2b,$ tandis que le diamètre ${\frac {2c}{\sqrt {t}}},$ dirigé suivant l’axe des $z,$ est variable et croît sans cesse à mesure que $t$ devient plus petit. Si, au contraire, $t$ est négatif, cette même équation exprime un hyperboloïde à une nappe, dont les élémens ont une courbure inverse de celle des élémens de l’ellipsoïde. Mais, entre ces deux cas, se trouve le cas intermédiaire de $t=0,$ pour lequel l’équation exprime une surface cylindrique, qui est aussi intermédiaire aux deux systèmes de surfaces, et leur sert de lieu commun.

Les surfaces exprimées par l’équation $\operatorname {F} (x,y,z,t)=0$ peuvent se succéder de telle sorte que chacune d’elles touche dans tous ses points celle qui lui est consécutive ; et alors elles pourront occuper la totalité de l’espace, comme il arriverait pour un plan perpendiculaire à une droite, dont la distance variable à un point de cette droite serait $t,$ ou pour une sphère dont le rayon variable serait égal à ${\frac {t^{2}}{r}}$^[1]$\,;$ ou bien elles n’occuperont qu’une portion limitée, finie ou infinie, de cet espace, comme il arriverait pour un plan perpendi-

1. L’espace entier peut également être exprimé par l’équation $0=0,$ qui est évidemment satisfaite quels que soient $x,y$ et $z$.
   J. D. G.