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$\operatorname {Cos} .^{2}(r+\mathrm {D} )-\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {R} =\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} ),$

$\operatorname {Sin} .^{2}(R+\mathrm {D} )-\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {r} =\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} ),$

mettant donc ces valeors et supprimant le facteur $\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} ),$ facteur commun d’abord aux deux termes du premier rapport ; puis aux deux autecédans, il viendra

$\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {R} :\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} )::\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r+\mathrm {D} ):\operatorname {Sin} .^{2}r\,;$

d’où, en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens,

$\operatorname {Sin} .^{2}r\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {R} =\operatorname {Sin} ^{2}.(\mathrm {R} -r)-\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {D} ,$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {D} =\operatorname {Sin} ^{2}.(\mathrm {R} -r)-\operatorname {Sin} .^{2}r\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {R} ,$

ou

$\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {D} =\left\{\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r)+\operatorname {Sin} .r\operatorname {Cos} .\mathrm {R} \right\}\left\{\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r)-\operatorname {Sin} .r\operatorname {Cos} .\mathrm {R} \right\}\,;$

mais

$\operatorname {Sin} .r\operatorname {Cos} .\mathrm {R} ={\frac {\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r)-\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r)}{2}}\,;$

donc, finalement,

$\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {D} ={\frac {\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r)+\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r)}{2}}.{\frac {3\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r)-\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r)}{2}}\,;$

c’est-à-dire,