substituant donc, en observant que le facteur
peut être supprimé, dans les deux termes du premier rapport, il viendra
![{\displaystyle (\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )+{\frac {1}{4}}(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} ):{\frac {1}{4}}(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} )::(\mathrm {R+D} )^{2}:r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513a9936e017d1c935fddc571ec43e31cf0f2ac8)
ou parce que, dans toute proportion, la différence des deux premiers termes est au second, comme la différence des deux derniers est au quatrième
![{\displaystyle \mathrm {R} +r+\mathrm {D} :{\frac {1}{4}}(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} )::(\mathrm {R+D} )^{2}-r^{2}:r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1936814e3a07bef4fb7748731a7190f8aef9d5b2)
ou en divisant les deux antécédans par
et multipliant les deux premiers termes par 4,
![{\displaystyle 4:\mathrm {R} -r-\mathrm {D::R} -r+\mathrm {D} :r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9e04429d13d8dff7bf1f16c6ba1a726912911e)
d’où, en égalant le produit des extrêmes au produit des moyens,
![{\displaystyle 4r^{2}=(\mathrm {R} -r)^{2}-\mathrm {D} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b9766fad2cddf68439bbd4d995c0495bb5f5ac)
ou
![{\displaystyle \mathrm {D} ^{2}=(\mathrm {R} -r)^{2}-4r^{2}=(\mathrm {R} +r)(\mathrm {R} -3r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b29622666fe2e05fd25c278132c7178526661e)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {..}{..}}\mathrm {R} +r:\mathrm {D:R} -3r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1dd1d60be4839c4a17d43272ed18660630b6b96)
comme nous l’avions annoncé.
Si la sphère tangente aux quatre faces de tétraèdre, au lieu d’être inscrite était exinscrite, en raisonnant d’une manière analogues, on serait conduit à la proportion