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Profitant de cette remarque, cherchons, parmi ces divers tétraèdres, celui qui paraît devoir le mieux se prêter à la recherche qui nous occupe : ce doit être sans contredit, un des deux qui ont un de leurs sommets à l’une ou l’autre des extrémités de celui des diamètres de la sphère circonscrite qui passe par le centre de l’inscrite, et dont conséquemment la face opposée est perpendiculaire à ce diamètre ; il est aisé de voir, en effet, que la base de ce tétraèdre est un triangle équilatéral, que ses autres faces sont des triangles isocèles égaux entre eux, et que la droite qui joint son sommet au centre de sa base en est en même temps la hauteur.

Soit donc $\mathrm {SBDE}$ (fig. 5) un tel tétraèdre ; soit $\mathrm {H}$ le centre de sa base, qui sera aussi le point de contact de cette base avec la sphère inscrite ; soit menée la hauteur $\mathrm {SH,}$ contenant en $\mathrm {C}$ le centre de la sphère circonscrite, et en $\mathrm {O}$ celui de la sphère inscrite. Soit menée $\mathrm {BH} ,$ coupant perpendiculairement $\mathrm {DE} ,$ en son milieu $\mathrm {A} \,;$ soient enfin menées $\mathrm {AS,BC}$ et $\mathrm {AO\,;\,BH}$ sera le double de $\mathrm {AH.}$

Parce que $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AS}$ sont deux tangentes à la sphère inscrite, $\mathrm {AO}$ doit diviser l’angle $\mathrm {SAH}$ en deux parties égales. Le triangle $\mathrm {SAH}$ donnera donc, en quarrant,

$\mathrm {{\overline {AS}}^{2}:{\overline {AH}}^{2}::{\overline {OS}}^{2}:{\overline {OH}}^{2}} \,;$

or, en employant les mêmes notations que dans le théorème précédent, on a

${\begin{aligned}&\mathrm {{\overline {AS}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\frac {1}{4}}{\overline {BH}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\frac {1}{4}}({\overline {BC}}^{2}-{\overline {CH}}^{2})} \\&\qquad =(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )^{2}\\&+{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {R} ^{2}-(r+\mathrm {D} )^{2}\right]=(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )\left[(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} ))+{\frac {1}{4}}(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} )\right],\\&\mathrm {{\overline {AH}}^{2}={\frac {1}{4}}{\overline {BH}}^{2}} ={\frac {1}{4}}\left[\mathrm {R} ^{2}-(r+\mathrm {D} )^{2}\right]={\frac {1}{4}}(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} ),\\&\mathrm {{\overline {OS}}^{2}=(R+D)^{2}} ,\\&{\overline {\mathrm {OH} }}^{2}=r^{2}\,;\end{aligned}}$