Profitant de cette remarque, cherchons, parmi ces divers tétraèdres, celui qui paraît devoir le mieux se prêter à la recherche qui nous occupe : ce doit être sans contredit, un des deux qui ont un de leurs sommets à l’une ou l’autre des extrémités de celui des diamètres de la sphère circonscrite qui passe par le centre de l’inscrite, et dont conséquemment la face opposée est perpendiculaire à ce diamètre ; il est aisé de voir, en effet, que la base de ce tétraèdre est un triangle équilatéral, que ses autres faces sont des triangles isocèles égaux entre eux, et que la droite qui joint son sommet au centre de sa base en est en même temps la hauteur.
Soit donc
(fig. 5) un tel tétraèdre ; soit
le centre de sa base, qui sera aussi le point de contact de cette base avec la sphère inscrite ; soit menée la hauteur
contenant en
le centre de la sphère circonscrite, et en
celui de la sphère inscrite. Soit menée
coupant perpendiculairement
en son milieu
soient enfin menées
et
sera le double de
Parce que
et
sont deux tangentes à la sphère inscrite,
doit diviser l’angle
en deux parties égales. Le triangle
donnera donc, en quarrant,
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {AS}}^{2}:{\overline {AH}}^{2}::{\overline {OS}}^{2}:{\overline {OH}}^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a714c56cb8f7c7533b16b23bed06c52775ecf57)
or, en employant les mêmes notations que dans le théorème précédent, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\overline {AS}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\frac {1}{4}}{\overline {BH}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\frac {1}{4}}({\overline {BC}}^{2}-{\overline {CH}}^{2})} \\&\qquad =(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )^{2}\\&+{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {R} ^{2}-(r+\mathrm {D} )^{2}\right]=(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )\left[(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} ))+{\frac {1}{4}}(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} )\right],\\&\mathrm {{\overline {AH}}^{2}={\frac {1}{4}}{\overline {BH}}^{2}} ={\frac {1}{4}}\left[\mathrm {R} ^{2}-(r+\mathrm {D} )^{2}\right]={\frac {1}{4}}(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} ),\\&\mathrm {{\overline {OS}}^{2}=(R+D)^{2}} ,\\&{\overline {\mathrm {OH} }}^{2}=r^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436e2f521bedea579dbed333e2188ff8168d5e32)