ties égales ; par une proposition connue de géométrie, on aura, en quarrant,
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {AS}}^{2}:{\overline {AH}}^{2}::{\overline {OS}}^{2}:{\overline {OH}}^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a714c56cb8f7c7533b16b23bed06c52775ecf57)
mais, en nommant
le rayon du cercle circonscrit,
celui de l’inscrit et
la distance de leurs centres, on a
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {AS}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-{\overline {CH}}^{2}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b39251f1c7c4b4b40db6d0a3da4eab86a773c7)
![{\displaystyle =\mathrm {(D+R} +r)^{2}+\mathrm {R^{2}-(D} +r)^{2}=\mathrm {R(D+R} +r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbdfc3e7081b09349c0007a90bfd1d46299c4ee)
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {AH}}^{2}={\overline {AG}}^{2}-{\overline {GH}}^{2}=R^{2}-(D} +r)^{2}=(\mathrm {D+R} +r)(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a2863acc03852ec898dccbce0235db573fa3f7f)
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {OS}}^{2}=(D+R)^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea191a075f543ab4236c86f5c0b387cd15ba4951)
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {OH}}^{2}} =r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93367d87d6ae9d295c7e789b10a6c04a3de0b9d0)
substituant donc et remarquant qu’alors le facteur
pourra être supprimé dans les deux termes du premier rapport, il viendra
![{\displaystyle 2\mathrm {R:R} -r-\mathrm {D::(D+R)^{2}} :r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e912682222921262384480bf2b2a37021341091c)
ou encore, parce que la différence des deux premiers termes est au second, comme la différence des deux derniers est au quatrième :
![{\displaystyle \mathrm {D+R} +r:\mathrm {R} -r-\mathrm {D::(D+R)^{2}} -r^{2}:r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f489e3d396835240aebd02f27617cb56874c2b0d)
ou en divisant les deux antécédans par ![{\displaystyle \mathrm {D+R} +r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862108d12eb6c5ccdc5bdc95df162e4c62cf82a4)
![{\displaystyle 1:\mathrm {R} -r-\mathrm {D::R} -r+\mathrm {D} :r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5394be6f332e5a73cda45c78271787dc1dcfc9)
ou enfin, en égalant le produit des extrêmes au produit des moyens