De là résulte le théorème suivant, dû à M. Brianchon :
THÉORÈME XIII. Deux triangles inscrits à une même conique sont aussi circonscrits à une même conique.
THÉORÈME XIV. Lorsqu’un triangle est, à la fois, circonscrit à un cercle et inscrit à un autre cercle, une infinité d’autres triangles peuvent être, à la fois, circonscrits au premier de ces cercles et inscrits au second.
Démonstration. Soit, en effet, le triangle circonscrit au cercle et inscrit au cercle Inscrivons au second une corde quelconque tangente au premier ; et, par les sommets et menons au cercle les tangentes et il s’agit de prouver que le point où ces deux tangentes se couperont sera aussi sur la circonférence du cercle de sorte que le triangle déjà circonscrit au cercle sera en même temps inscrit au cercle Pour cela, remarquons que les deux triangles sont déjà circonscrits au cercle or, cinq de leurs sommets sont, par construction, à la circonférence de cercle donc (Théorème X) le sixième sera aussi sur cette circonférence ; donc enfin le triangle circonscrit au cercle est en même temps inscrit au cercle comme le triangle
Ce théorème avait déjà été remarqué par M. Lhuilier (Annales de math., tom. I, pag. 155).
On peut déduire de ce qui précède le théorème plus général que voici, dû à M. Poncelet, qui l’a même étendu à un polygone quelconque.
THÉORÈME XV. Si un seul triangle est circonscrit à une conique et inscrit à une autre, une infinité d’autres triangles pourront être, à la fois, circonscrits à la première et inscrits à la seconde.
THÉORÈME XVI. Si un tétraèdre est, à la fois, circonscrit à une sphère et inscrit à une autre, une infinité d’autres tétraèdres pourront aussi, à la fois, être circonscrits à la première et inscrits à la seconde.
