points d’une autre droite qui ne se confond pas avec elle, ce qui est absurde.
Nous avons également démontré, en l’endroit cité, que six tangentes étant menées à un même cercle, les diagonales qui joignent les sommets opposés des hexagones dont ces tangentes sont les côtés concourent toutes trois en un même point.
On peut conclure de là que, réciproquement, lorsque cinq côtés d’un hexagone sont tangens à un même cercle, et que les diagonales qui joignent ses sommets opposés concourent en un même point, son sixième côté est aussi tangent au cercle.
En effet, dans le cas contraire, en menant, par l’un des sommets que ce sixième côté détermine, une tangente au cercle, cette tangente, avec les cinq autres, formerait un hexagone circonscrit dans lequel les diagonales joignant les sommets opposés concourraient en un même point ; mais, deux des diagonales étant communes aux deux hexagones et les troisièmes partant d’un même sommet, il faudrait que deux droites partant d’un même point passassent l’une et l’autre par l’intersection de deux autres droites, ce qui est absurde.
On ne doit pas perdre de vue que ces propositions s’appliquent aux hexagones rapportés à une section conique quelconque différente du cercle.
THÉORÈME X. Deux triangles étant circonscrits à un même cercle ; si cinq de leurs sommets sont sur une même circonférence, le sixième sera aussi sur cette circonférence.
Démonstration. Soient (fig. 3) deux triangles circonscrits à un même cercle et le touchant aux points leurs sommets sont aussi ceux d’un hexagone dans lequel il est facile de prouver que les points de concours respectifs des directions des côtés opposés et et et appartiennent à une même ligne droite ; en effet, dans l’hexagone inscrit les trois points de concours des directions des côtés opposés et et et
