et en leur appliquant le Théorème V on verra en effet que
est sur
et conséquemment sur
que
est sur
et conséquemment sur
et qu’enfin
est sur
et conséquemment sur
Or, comme
par leurs intersections avec le cercle, déterminent les sommets des deux triangles cherchés, il s’ensuit que tout se réduit à construire ces droites, ou simplement les sommets
du triangle qu’elles forment par leurs rencontres. Puis donc que ces sommets sont déjà respectivement sur
et
il ne s’agit plus que de trouver d’autres droites sur lesquelles ils se trouvent également. Or, il est aisé de prouver que le sommet
est sur
le sommet
sur
etle sommet
sur
En effet, soient respectivement
les intersections de
et
de
et
et de
et
soient en outre
les intersections respectives de
et
de
et
de
et
Les points
ayant pour polaires respectives
et
qui concourent en
il s’ensuit que ces trois points appartiennent à une même ligne droite dont le point
est le pôle. Pour de semblables raisons, la droite
passe par
et a pour pôle le point
et la droite
passe par
et a pour pôle le point
soient enfin menés
et
Cela posé, si l’on considère en premier lien, l’hexagone inscrit non convexe dont les côtés consécutifs sont
on verra (Théorème I) que la droite
doit passer par le point de concours de
et
Considérant ensuite le quadrilatère convexe inscrit dont les côtés consécutifs sont
on verra (Théorème V) que ces mêmes droites
doivent concourir en un point de
d’où on conclura que
et
doivent concourir en un même point de
et que conséquemment leurs pôles respectifs
sont en ligne droite. Enfin, en considérant le quadrilatère inscrit non convexe dont les