§. V.
Inscription ou circonscription au cercle d’un triangle dont les côtés passent par des points donnés, ou dont les sommets soient sur des droites données.
PROBLÈME I. À un cercle donné, inscrire un triangle dont les côtés passent par trois points donnés ?
Solution On voit d’abord évidemment que le problème doit avoir en général deux solutions, du moins lorsqu’il est possible ; car, en inscrivant arbitrairement deux triangles à un même cercle, leurs côtés de mêmes rangs se couperont en trois points que l’on pourra ensuite, en renversant le problème, considérer comme les trois points donnés.
Soient donc
(fig. 2) ces trois points donnés, et soient ![{\displaystyle \mathrm {TUV} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fe315efe6749860495edb80f61b3a33b08dd1f)
les deux triangles résolvant le problème ;
et
se coupant en
et
en
et
et
en
Soient construits les triangles circonscrits
dont les points de contact soient les sommets des deux inscrits,
et
passant respectivement par
et
et
par
et
et
par
et
et soient menées les trois droites
les deux dernières se coupant en
la première et la dernière en
et les deux premières en
et
qui se coupent en
étant les polaires respectives de
et
la droite
sera la polaire du point
Pour de semblables raisons,
et
seront les polaires respectives des points
et
Soient menées ensuite
les deux dernières se coupant en
la première et la dernière se coupant en
et les deux premières en
Nous allons prouver que les points
sont respectivement sur les droites
Pour cela, soient menées les droites
en considérant tour-à-tour les quadrilatères inscrits