Il est presque superflu de prévenir qu’en vertu de ce que M. Poncelet a appelé propriétés projectiles des figures, tout ce qui va être démontré du cercle le sera, par là même, d’une section conique quelconque.
§. I.
Propriétés des hexagones inscrits et circonscrits au cercle.
THÉORÈME I. Dans tout hexagone inscrit au cercle, les points de concours des directions des côtés opposés appartiennent tous trois à une même ligne droite.
Démonstration. Soit
(fig. 2) un hexagone quelconque inscrit au cercle
Soient
respectivement, les côtés de l’hexagone circonscrit au même cercle dont les points de contact sont aux sommets
de l’inscrit. Soient respectivement
les points de concours des directions des côtés opposés
et
et
et
de l’hexagone inscrit ; il s’agit de démontrer que ces trois points appartiennent à une même ligne droite.
Soient pour cela
respectivement les points de concours des directions des côtés opposés
et
et
et
de l’hexagone circonscrit.
Le cercle
touche extérieurement en
le cercle
et intérieurement en
le cercle
d’où il suit que
passe par le centre de similitude interne des cercles
et
Pareillement, le cercle
touche extérieurement en
le cercle
et intérieurement en
le cercle
d’où il suit que
passe aussi par le centre de similitude interne des deux cercles
et
lequel conséquentment ne saurait être que le point
de concours des directions de
et
Par un raisonnement tout-à-fait semblable, appliqué tour à tour aux deux cercles
et
on prouvera que
et
passent