exacte à trois variables ; et qu’on représente par son intégrale, la courbe formée par le fil en équilibre sera entre toutes les courbes de même longueur et se terminant aux mêmes points, celle qui rendra l’intégrale prise entre ces points, un minimum ou un maximum ».
Cherchons en effet la courbe qui remplit cette dernière condition. En suivant la méthode générale des variations, il faudra égaler à zéro la variation de la formule
dans laquelle désigne un nombre qui doit être déterminé pas la condition d’avoir, entre les limites données,
Posons donc
nous en tirerons
Faisant disparaître au moyen de l’intégration par parties, il viendra
Mais, par hypothèse, la formule est une différentielle exacte à trois variables, et l’on a