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contact que peuvent avoir entre elles les courbes non consécutives comprises dans l’équation générale $\varphi =0.$

Soit, par exemple, l’équation

$(y-x)^{2}={\frac {(p+1)^{2}}{1+p^{2}}}\,;$

en cherchant ses solutions particulières, par le procédé qui vient d’être indiqué, on parvient aux trois résultats distincts,

$y=x+{\sqrt {2}},\qquad y=x-{\sqrt {2}},\qquad y=x.$

Mais si, d’un autre côté, on intègre l’équation différentielle proposée, on reconnaîtra aisément que son intégrale appartient à une suite de cercles égaux, dont les centres sont situés sur la droite qui divise en deux parties égales l’angle des coordonnées positives ; et on reconnaîtra ainsi que ces cercles doivent simplement avoir de $x$ enveloppes rectilignes, données par les équations

$y=x+{\sqrt {2}},\qquad y=x-{\sqrt {2}}\,;$

mais si l’on considère deux de ces cercles tellement situés que la distance de leurs centres soit égale à leur diamètre commun, ces cercles, bien que non consécutifs, auront un point de contact sur la droite donnée par l’équation

$y=x,$

laquelle contient ainsi les points de contact des cercles non consécutifs ; il n’est donc pas surprenant d’après cela que notre procédé, qui était de nature à nous donner le lieu des points de contact de toutes les sortes, nous ait conduit non seulement aux deux enveloppes, mais encore à la droite qui contient les centres de tous les cercles.