![{\displaystyle q-{\frac {p}{q-x}}=(q-p)+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-1-x}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cdecfa430b35fecb87511e4e14aad755424a9c)
en substituant donc, il viendra
![{\displaystyle x={\frac {p}{q-p+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-1-x}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944b5c5ea3aa82ec98ebbc519a9a975ae087f027)
et par conséquent
![{\displaystyle x={\frac {p}{q-p+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-1-{\frac {p}{q-p+y}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24060ab6a9b579a493f0f3b25013d83d18575a9)
en posant, pour abréger,
![{\displaystyle y={\frac {p}{1+{\frac {1}{q-1-x}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b92222ba9227df12b905cc5e224a7e4a717a170)
Mais, par une transformation analogue, on trouve
![{\displaystyle q-1-{\frac {p}{q-p+y}}=(q-p-1)+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-p-1+y}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3dc74b5086e0c7cd3780df0381b6b332e85a8d)
donc, en substituant et mettant pour
sa valeur,
![{\displaystyle x={\frac {p}{q-p+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-p-1+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-p-1+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-p-1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06b0b5548368452a3c571321b7fa71f039716d3)
Mais, pour que cette transformation conduise au but, encore faut-il que
soit plus grand que
et l’on n’obtient finalement qu’une fraction continue peu convergente, qui n’est plus immédiatement périodique et dont les périodes ont deux termes.