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Si l’on divise l’unité par les deux membres de cette dernière équation, il vient, toutes réductions faites

(VI)$\quad {\frac {k}{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}}=-{\frac {\frac {k^{2}}{p}}{{\frac {qk}{k}}+{\frac {\frac {k^{2}}{p}}{{\frac {qk}{k}}+{\frac {\frac {k^{2}}{p}}{{\frac {qk}{k}}+\ldots }}}}}}$

Si, dans cette dernière formule, on fait k=s-p, il viendra

${\frac {-p}{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}}={\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}$

c’est-à-dire qu’en divisant par une fraction continue de la nature de celles que nous considérons ici le numérateur commun de ses fractions intégrantes pris en moins, on obtient pour quotient cette même fraction continue.

On sait que dans l’équation

$x^{2}+qx=p,$

le produit des racines est $-p\,;$ d’où il suit qu’en divisant $-p$ par l’une d’elles, on doit obtenir l’autre pour quotient ; puis donc qu’en divisant $-p$ par l’une d’elles, mise sous forme de fraction continue périodique, on obtient pour quotient cette fraction continue périodique, il s’ensuit de nouveau, comme nous l’avons déjà remarqué ci-dessus, que, sans sa forme unique, cette fraction exprime pourtant les deux racines de l’équation du second degré de laquelle elle est dérivée.

Ainsi s’explique l’espèce de paradoxe auquel semblerait donner