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une fraction continue donnée, et désignons par $y$ le produit de sa multiplication par un nombre rationnel $k\,;$ nous aurons ainsi

$y=kx,\quad$d’où$\quad x={\frac {y}{k}}\,;$

mettant cette valeur dans l’équation

$x^{2}+qx=p,$

elle deviendra

$y^{2}+kqy=k^{2}p\,;$

d’où

$y={\frac {k^{2}p}{kq+y}}\,;$

de sorte qu’on aura

(IV) $\left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}.k={\frac {k^{2}p}{kq+{\frac {k^{2}p}{kq+{\frac {k^{2}p}{kq+\ldots }}}}}}$

c’est-à-dire qu’on multiplie une fraction continue périodique de la nature de celles que nous considérons ici par un multiplicateur rationnel quelconque, en multipliant simplement les numérateurs de ses fractions intégrantes par le quarré et leurs dénominateurs par la première puissance de ce multiplicateur.

On conclut de là ou bien du changement de $k$ en ${\frac {1}{k}}$

(V) $-{\frac {\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}{k}}={\frac {\frac {p}{k^{2}}}{{\frac {q}{k}}+{\frac {\frac {p}{k^{2}}}{{\frac {q}{k}}+{\frac {\frac {p}{k^{2}}}{{\frac {q}{k}}+\ldots }}}}}}$