![{\displaystyle x^{2}+qx=p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31056154a2a0d68989b849ebad937d7a5ee6a3b)
et soit
un nombre rationnel donné. Si d’abord on veut avoir leur somme, en représentant cette somme par
on aura
![{\displaystyle y=x+k,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb41787f4162c702978fa0ef4f9ebe81cd77ae2)
d’où
![{\displaystyle \quad x=y-k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea97ae830136a363380cc098a0d575827081483)
au moyen de quoi l’équation du second degré deviendra
![{\displaystyle (y-k)^{2}+q(y-k)=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ab5200295c577a89faf41aed5161ae8c41d288)
ou, en développant et ordonnant
![{\displaystyle y^{2}+(q-2k)y=p+qk-k^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd28ed3905e40140c85d457b4a1702e05f496508)
ce qui donne
![{\displaystyle y={\frac {p+qk-k^{2}}{q-2k+y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbe36db4308506b1effa89c3ee74f92d1154e38)
de sorte qu’on aura
(I)
![{\displaystyle \left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}+k={\frac {p+qk-k^{2}}{q-2k+{\frac {p+qk-k^{2}}{q-2k+{\frac {p+qk-k^{2}}{q-2k+\ldots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66f932d58c8274e6152992c65755f3fc47d143d)
En changeant le signe de
dans cette formule, elle devient
(II)
![{\displaystyle \left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}-k={\frac {p-qk-k^{2}}{q+2k+{\frac {p-qk-k^{2}}{q+2k+{\frac {p-qk-k^{2}}{q+2k+\ldots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fb8c5fadbfb0d2fbd261c6817b3fb57731bc12)
tel est donc le reste qu’on obtient en retranchant de notre fraction continue un nombre rationnel donné.
On peut encore écrire