étant des nombres entiers, et les deux derniers pouvant être indistinctement supposés positifs ou négatifs. En multipliant cette équation par
où
est un nombre entier arbitraire, positif ou négatif, l’équation résultante pourra être mise sous cette forme
![{\displaystyle (nAx)^{2}+nB(nAx)+n^{2}AC=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b9f8e2ae5636cae0340ca6511d3bfd35aba450)
puis, sous celle-ci,
![{\displaystyle (nAx-k+k)^{2}+nB(nAx-k+k)+n^{2}AC=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86a64b9ddf5a62e4f36c05978898a82d5df6bb3)
où
est un autre nombre entier arbitraire. En développant et ordonnant par rapport à
cette équation deviendra
![{\displaystyle (nAx-k)^{2}+(2k+nB)(nAx-k)+\left(k^{2}+nBk+n^{2}AC\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93acf3429da67da0831e32da563181a09f2a650)
en posant donc
![{\displaystyle 2k+nB=q,\qquad -\left(k^{2}+nBk+n^{2}AC\right)=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6d14988a1ec7bf7756f5e8f259f81361b5ca37)
nous aurons
![{\displaystyle (nAx-k)^{2}+q(nAx-k)=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f91c041f7fa49b4671d2b494529cffa5a70c1d2)
d’où
![{\displaystyle nAx-k={\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f557456c8c0871edb3cd94fe7896e73f0a9d01)
et par suite
![{\displaystyle x={\frac {1}{nA}}\left(k+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ef8373f8b97253f83abcbe48b50a88cf1131ed)
tout se réduit donc à profiter de l’indétermination des deux nombres
et
, pour faire en sorte que
et
soient deux nombres positifs les plus grands possibles, de manière que
soit le plus grand des deux.