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${\frac {2.7^{9}+8.2^{2}.7^{7}+21.2^{3}.7^{5}+20.2^{4}.7^{3}+5.2^{5}.7}{7^{10}+9.2.7^{8}+28.2^{2}.7^{6}+35.2^{3}.7^{4}+15.2^{4}.7^{2}+2^{5}}},$

c’est-à-dire,

${\frac {109995046}{400092427}}\,;$

et qu’elle n’est pas fautive de la fraction

${\frac {2}{7}}.{\frac {1024}{400092427.415816005}}={\frac {2048}{116455384.2381258945}},$

de sorte que, dans son développement en décimales, on peut compter, en toute sûreté, sur les $13$ premiers chiffres après la virgule.

Généralement, si l’on a l’équation du second degré

$x^{2}+qx-p=0,$

où nous supposons $p$ et $q$ entiers positifs, on en tirera d’abord

$x={\frac {p}{q+x}},$

et, par suite,

$x={\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}$

développement qui finira toujours par devenir convergent, quand bien même $p$ serait plus grand que $q\,;$ mais dont la convergence sera d’ailleurs d’autant plus rapide que $p$ et $q$ seront de plus grands nombres et qu’en même temps la fraction ${\frac {p}{q}}$ sera plus petite. C’est ce qu’on aperçoit clairement en observant qu’ici la $n.$^me réduite est