Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/314

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {(bc'-cb')x+(ca'-ac')y+(ab'-ba')z}{(z-c)(z-c')}}\\\\+&{\frac {(b'c''-c'b'')x+(c'a''-a'c'')y+(a'b''-b'a'')z}{(z-c')(z-c'')}}\\\\+&{\frac {(b''c-c''b)x+(c''a-a''c)y+(a''b-b''a)z}{(z-c'')(z-c)}}\end{aligned}}\right\}={\frac {2k^{2}}{\operatorname {Sin} .\gamma }}.$

Telle est donc l’équation de la surface demandée.

En y chassant les dénominateurs, développant et posant, pour abréger,

$bc'-cb'+b'c''-c'b''+b''c-c''b=A,$

$ca'-ac'+c'a''-a'c''+c''a-a''c=B,$

$ab'-ba'+a'b''-b'a''+a''b-b''a=C,$

$ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''=D,$

cette équation deviendra

$(Ax+By+Cz-D)z^{2}\operatorname {Sin} .\gamma =2k^{2}(z-c)(z-c')(z-c'').\qquad$(1)

Il faudra d’ailleurs se rappeler que $k^{2}$ peut être pris indistinctement en plus ou en moins ; de sorte qu’il y a proprement deux surfaces courbes qui résolvent le problème. Nous nous bornerons à discuter celle qui répond à $k^{2}$ positif.

Remarquons d’abord que l’équation du plan qui contient les trois points fixes est