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$(P+pQ)\left\{\operatorname {d} x-\operatorname {d} p\varphi '(p)\right\}=0,$

équation qui peut être satisfaite en posant

$P+pQ=0,\quad$ou$\quad P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y=0$

ce qui revient à dire que la différentielle

$P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y-\left\{P\varphi '(p)+Q\psi '(p)\right\}\operatorname {d} p=0,$

en y considérant $p$ comme une constante, est égale à zéro, ce qui est précisément le caractère des solutions particulières ; mais l’équation est aussi satisfaite en posant

$\operatorname {d} x-\operatorname {d} p\varphi '(p)=0\quad$d’où$\quad \operatorname {d} y=\operatorname {d} p.\psi '(p)=0,$

ce qui donne, en intégrant,

$x-\alpha =\varphi (p),\qquad y-\beta =\psi (p),$

équations dans lesquelles $\alpha ,\beta$ sont les constantes arbitraires, et qui donnent, par l’élimination de $p,$

$\operatorname {f} (x-\alpha ,y-\beta )=0.$

Corollaire. Il résulte de là un moyen facile de ramener l’intégration d’une équation différentielle, dans laquelle $x$ ou $y$ est donnée en fonction de $p,$ lorsqu’elle ne peut être résolue par rapport à