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équations qui, résolues, la première par rappoxt à $x-\alpha$ et l’autre par rapport à $y-\beta ,$ donneront

$x-\alpha =\varphi (p),\qquad y-\beta =\psi (p),$

où $\varphi$ et $\psi$ seront également des fonctions déterminées de $p\,;$ et par suite

$\alpha =x-\varphi (p),\qquad \beta =y-\psi (p).$

Mais $\alpha$ et $\beta$ étant des fonctions déterminées de $c$ sont aussi fonctions l’une de l’autre, c’est-à-dire, qu’il doit exister entre elles une relation déterminée. En supposant donc cette relation exprimée par l’équation

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta )=0,$

et substituant, on obtiendra, pour l’équation différentielle demandée

$\operatorname {F} \left\{x-\varphi (p),y-\psi (p)\right\}=0.\qquad$(I)

Mais il est essentiel de remarquer que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ ne sauraient être indépendantes ; et rien n’est plus facile que d’assigner la relation qui doit exister entre elles. Si, en effet, on différentie les valeurs de $x-\alpha$ et $y-\beta$ trouvées ci-dessus, on aura

$\operatorname {d} x=\varphi '(p).\operatorname {d} p,\qquad \operatorname {d} y=\psi '(p).\operatorname {d} p,$

$\varphi '$ et $\psi '$ étant les dérivées respectives de $\varphi$ et $\psi \,;$ or, ces deux équations, divisées l’une par l’autre, donnent

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\quad$ou$\quad p={\frac {\psi (p)}{\varphi (p)}},\quad$c’est-à-dire,$\quad \psi '(p)=p\varphi '(p)\,;\qquad$(II)