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Solution du problème d’analise transcendante énoncé
à la page 128 du présent volume, suivie de la
démonstration d’un théorème nouveau ;

Par M. Roche, capitaine d’artillerie de la marine,
ancien élève de l’école polytechnique.

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PROBLÈME. Quelle est la forme la plus générale des équations différentielles qui admettent une intégrale de la forme

$\operatorname {f} (x-\alpha ,y-\beta )=0,$

dans laquelle $\alpha$ et $\beta$ représentent des fonctions déterminées quelconques de la constante arbitraire $c$ ?

Solution. En supposant tour à tour l’équation intégrale résolue par rapport à $y-\beta$ et $x-\alpha ,$ on obtiendra des valeurs de cette forme

$y-\beta =\Phi '(x-\alpha ),\qquad x-\alpha =\Psi (y-\beta ),$

où $\Phi$ et $\Psi$ seront des fonctions déterminées de $x-\alpha$ et $y-\beta ,$ respectivement. En différentiant ces deux équations, et représentant, à l’ordinaire, par $p$ le coefficient différentiel de $y$ et par $\Phi '$ et $\Psi '$ les dérivées respectives de $\Phi$ et $\Psi ,$ on trouvera

$p=\Phi '(x-\alpha ),\qquad 1=p\Psi '(y-\beta ),$