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Pour $\mathrm {C'} \qquad bX-aY=0,$

Pour $\mathrm {C'} \quad (b-b')(X-a)-(a-a')(Y-b)=0.$

Désignant ensuite respectivement par $p,p',p''$ les perpendiculaires abaissées sur les directions de ces côtés d’un point quelconque $\mathrm {P}$ du plan du triangle que pourtant, pour fixer les idées, nous supposerons d’abord dans son intérieur, et donc nous supposerons les coordonnées $x$ et $y$ nous aurons

${\begin{aligned}p&={\frac {b'x-a'y}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}}={\frac {b'x-a'y}{c}},\\\\p'&={\frac {ay-bx}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\frac {ay-bx}{c'}},\end{aligned}}$

$p''={\frac {(b-b')(x-a)-(a-a')(y-b)}{\sqrt {(a-a')^{2}+(b-b')^{2}}}}={\frac {(b-b')x-(a-a')y+(ab'-ba')}{c''}}.$

En désignant donc par $\mathrm {Q,Q',Q''}$ les pieds de ces perpendiculaires, se rappelant que l’aire d’un triangle est la moitié du produit de deux de ses côtés et du sinus de l’angle compris, et remarquant en outre

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .(p',p'')&=\operatorname {Sin} .\alpha ={\frac {ab'-ba'}{c'c''}},\\\\\operatorname {Sin} .(p,p'')&=\operatorname {Sin} .\alpha ''={\frac {ab'-ba'}{cc''}},\\\\\operatorname {Sin} .(p,p')&=\operatorname {Sin} .\alpha ''={\frac {ab'-ba'}{c''c}}\,;\end{aligned}}$

on trouvera