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n’est pas une variation exacte, le fluide éprouvera nécessairement un mouvement de translation ; mais il ne faudrait pas en conclure que la réciproque est également vraie.

17. Dans les applications usuelles de la théorie du mouvement des fluides, ce mouvement peut être regardé comme uniforme ; c’est-à-dire que les vitesses $\operatorname {d} 'x,\operatorname {d} 'y,\operatorname {d} 'z,$ sont fonctions de $x,y,z$ seulement ; de sorte que l’on a

${\frac {\operatorname {dd} 'x}{\operatorname {d} t}}=0,\quad {\frac {\operatorname {dd} 'y}{\operatorname {d} t}}=0,\quad {\frac {\operatorname {dd} 'z}{\operatorname {d} t}}=0.$

Si donc nous supposons que ce soit le cas traité dans le n.^o 14 ; nous aurons

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {dd} 'x}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} x\operatorname {d} t}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {dd} 'y}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} y\operatorname {d} t}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {dd} 'z}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} z\operatorname {d} t}}=0\,;\end{aligned}}$

et par suite

$\delta {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} x\operatorname {d} t}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} y\operatorname {d} t}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} z\operatorname {d} t}}\delta z=0\,;$

d’où on conclura

${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}=T,$

en désignant par $T$ une fonction arbitraire de $t,$ qui doit être la même pour toutes les molécules du fluide. Faisant de plus, pour abréger,

$\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} y}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} z}}\right)^{2}=u^{2},$