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$\operatorname {d} '\psi =\delta \operatorname {d} '\phi =\operatorname {d} '\delta '\phi ,\quad$d’où$\quad \psi =\delta \phi +H\,;\qquad$(13)

en désignant par $H$ une fonction de $a,b,c$ sans $t,$ de la forme $A\delta a+B\delta b+C\delta c,$ qui d’ailleurs peut être quelconque, puisqu’elle est introduite par l’intégration, et qu’il faudra conséquemment déterminer au moyen de l’état primitif du fluide.

Cette équation (13) va nous conduire à quelques résultats importans.

11. Si l’on nomme $\psi _{1}$ et $\phi _{1}$ les valeurs de $\psi$ et $\phi$ qui correspondent à une valeur particulière quelconque $t_{1}$ du temps, nous devrons avoir de même

$\psi _{1}=\delta \phi _{1}+H\,;$

éliminant $H$ entre cette équation et l’équation (13), nous aurons

$\psi -\psi _{1}=\delta \phi -\delta \phi _{1}=\delta (\phi -\phi _{1}),$

qui, traduite en langage ordinaire, donne ce théorème :

Si, pour deux valeurs quelconques du temps, on calcule celles de $\psi$ qui leur correspondent, la différence des résultats sera toujours une variation exacte.

Ce résultat, entièrement nouveau, nous paraît curieux. Malheureusement il n’est utile qu’autant qu’on peut en déduire, comme cas particulier, que $\psi$ sera une variation exacte dans tous les temps si, pour un instant quelconque, cette fonction est une variation exacte, ou bien si elle est nulle ; théorème important, déjà connu depuis long-temps, mais qui n’avait pas été démontré jusqu’ici d’une manière aussi simple.

12. L’utilité de l’équation (13) ne se borne pas à la démonstration du précédent théorème. Si, en effet, on y met pour $\psi$ et $H$ les quantités qu’elles représentent, elle devient

$\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z=\delta \phi +A\delta a+B\delta b+C\delta c,\qquad$(14)

ou encore