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Dans les cas où $H$ sera une fonction de $a,b,c,$ sans $t,$ on aura $\operatorname {d} 'H=0,$ et par suite

\operatorname {d} '\psi =\operatorname {d} '\delta \phi =\delta \operatorname {d} '\phi .

Si, au contraire, $H$ est une fonction de $x,y,z,$ sans $t,$ on aura ${\frac {\operatorname {d} H}{\operatorname {d} t}}=0,$ et par suite

{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} \delta \phi }{\operatorname {d} t}}=\delta {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}\,;

et comme, dans ce cas ou les autres, $H$ peut ne pas être une variation exacte, ce qui pourtant serait nécessaire pour que $\psi$ fut une pareille variation, on en conclura que $\psi$ peut ne pas être une variation exacte, bien que l’une ou l’autre des dérivées $\operatorname {d} '\psi$ ou ${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} t}}$ soit une telle variation.

C’est pour avoir négligé de faire cette observation, ou peut-être même pour avoir cru que le contraire était vrai, que les divers auteurs qui ont écrit sur l’hydrodynamique ont réputé, comme, généralement démontrée, une proposition qui n’est vraie que dans des cas particuliers.

7. Ces notations et remarques ainsi établies, soit $p$ la pression qu’éprouve la molécule $M,$ au bout du temps $t\,;$ soit $\Delta$ la densité correspondante de la même molécule ; soient, en outre, $X,Y,Z$ les trois forces parallèles aux axes des coordonnées auxquelles peuvent être réduites toutes celles qui la sollicitent, forces que nous réputerons positives ou négatives, suivant qu’elles tendront à augmenter ou à diminuer les coordonnées $x,y,z$ du point $M.$ Si les fluide était en équilibre, nous aurions, pour les équations de cet équilibre

X-{\frac {1}{\Delta }}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=0,\quad Y-{\frac {1}{\Delta }}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}=0,\quad Z-{\frac {1}{\Delta }}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} z}}=0.