Si l’hyperbole était déjà tracée, la construction de la lemniscate deviendrait beaucoup plus facile ;
étant le point où cette hyperbole serait coupée par l’arbitraire
l’arc
décrit du point
comme centre, déterminerait le point
de
la droite
déterminerait le point
de la circonférence ; et enfin l’arc
décrit encore du point
comme centre, déterminerait le point
de la lemniscate.
On tire des équations (5, 6)
![{\displaystyle \operatorname {d} u=+{\frac {a^{2}\operatorname {d} h}{h{\sqrt {h^{4}-a^{4}}}}},\qquad \operatorname {d} u=-{\frac {l\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ee032ea48c5f55787f6ccb48148fab2e8fdd3a)
en observant que, pour la dernière courbe, le rayon vecteur décroît lorsque
augmente. Mais on sait que
étant l’arc d’une courbe dont le rayon vecteur
fait un angle
avec l’axe, on a
![{\displaystyle s=\int {\sqrt {\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} u^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ce97a9a1a2df2d6d81d16e54a889552da92aec)
donc, en représentant respectivement par
les arcs de nos deux courbes, nous aurons
![{\displaystyle H=\int {\frac {h^{2}\operatorname {d} h}{h{\sqrt {h^{4}-a^{4}}}}},\qquad L=\int -{\frac {a^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a36a953c6e50fce4cf6ac4525dc16bc6b2a5adb)
les arcs étant comptés à partir du sommet de l’hyperbole. Mais, à cause de la relation trouvée ci-dessus,
on peut exprimer
en
et il vient ainsi
![{\displaystyle H=\int -{\frac {a^{4}\operatorname {d} l}{l^{2}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}}={\frac {\sqrt {a^{4}-l^{4}}}{l}}+\int {\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e009296fb99159fc78061e2dd3e97d6c2d4538b7)
Remarquons présentement que l’excès de l’asymptote de l’hyperbole sur le quart de cette courbe n’est autre chose que ce que devient l’excès
ou
du rayon vecteur sur l’arc correspondant, compté depuis le sommet, lorsque ce rayon vecteur devient infini, ou, ce qui revient au même, lorsque
d’où il suit qu’on doit avoir
![{\displaystyle D={\frac {a^{2}}{l}}-{\frac {\sqrt {a^{4}-l^{4}}}{l}}-\int {\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.\qquad \left[{\begin{aligned}&l=a\\&l=0\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2fddf9c5a69048f928d4f9ef09b852ec19a505)