L’équation de la perpendiculaire menée du centre sur cette tangente est
![{\displaystyle a^{2}xy'+b^{2}yx'=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7086ad0a327f486bd4f5cfee2f03384ab9c37064)
(4)
Son pied étant donné par le système des équations (2, 4), lesquelles
et
sont liées par la relation (3) ; il s’ensuit qu’en éliminant
entre ces trois équations, l’équation résultante en
et
sera celle du lieu des pieds de toutes les perpendiculaires menées du centre de la courbe sur ces tangentes.
Or, on tire des équations (2 et 4)
![{\displaystyle {\frac {x'}{a}}=+{\frac {ax}{x^{2}+y^{2}}},\qquad {\frac {y'}{b}}=-{\frac {by}{x^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eca4330b42be1492e761b176416ab3cee22d307)
valeurs qui, substituées dans l’équation (3), donnent pour celle du lieu cherché
![{\displaystyle a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad3d86d9e4ccdd28d1cf63ced68dda075aa769f)
c’est l’équation générale de la lemniscate.
Pour passer à son équation polaire, nous poserons
![{\displaystyle x=l\operatorname {Cos} .u,\qquad y=l\operatorname {Sin} .u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f054e0f8ce3f8395eec080598336c94dcb947d25)
et cette équation polaire sera ainsi
![{\displaystyle l^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}u-b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b06a0f54ae13c77af68cdbef491192d35b0084)
Quant à l’hyperbole, en appelant
son rayon vecteur répondant à l’angle
son équation deviendra
![{\displaystyle h^{2}\left(b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}u-a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}u\right)=a^{2}b^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee5db961fc9872fe169d98d5b3c1628c5745d92)
Mais, dans le cas particulier qui nous occupe, et où il s’agit d’une hyperbole équilatère, on a
en sorte que l’équation polaire de l’hyperbole devient simplement
![{\displaystyle a^{2}=h^{2}\operatorname {Cos} .2u,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eacd7ba4c29f84608486e9ee71347912c628f2c)
(5)
et celle de la lemniscate
![{\displaystyle l^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .2u.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2ef3bae2ce51a64818f6a58fd29ed02bea7578)
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