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rivées ; mais il est facile de voir qu’elle ne se compliquerait pas beaucoup, si l’on voulait considérer une fonction d’un plus grand nombre de variables, et que de plus, les conclusions seraient absolument les mêmes.

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration abrégée du Binome de Newton,
pour le cas de l’exposant entier et positif ;

M. L. C. Bouvier, ex-officier de génie, ancien élève
de l’école polytechnique.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit pour abréger,

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-\mu +2}{\mu -1}}=\operatorname {f} (m,\mu )\,;$

il s’agit de prouver que le terme général du développement de $(x+a)^{m}$ est $\operatorname {f} (m,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1},$ ou, ce qui revient au même, que

$(x+a)^{m}=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}\,;\qquad$(1)

en développant le second membre depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =\infty .$

Cette assertion se vérifiant facilement pour les quelques premières valeurs de $m,$ tout se réduit à prouver que l’équation (1) aura lieu si l’on

$(x+a)^{m-1}=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}\,;\qquad$(2)

or, on tire de là, en multipliant de part et d’autre par $x+a,$