d’où l’on conclura que, comme le premier membre ne renferme pas de différentielles de
et
d’un ordre plus élevé que
la partie du second membre comprise entre les crochets ne saurait renfermer de différentielles des mêmes variables d’un ordre supérieur à
et
et que, par conséquent, il est possible de trouver une fonction
de ![{\displaystyle x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{m-1},y,y_{1},y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02f4416acd80790b6564a56897f56584cc2e58a)
qui satisfasse à l’équation
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} P_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}={\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i-1}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359db284e834a1ccf738cb6af629abdb1efc717f)
au moyen de laquelle nous aurons, en ayant égard à l’équation (5),
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}=A_{i}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} P_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}=A_{i}+{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7465030e78a4afae11738cb2ad09553854de752)
et par suite
![{\displaystyle u_{i}=A_{i}x_{i}+p_{i}+u_{i+1},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb5cb2bb6ade97353b82644dd09a28ae6e10735)
(8)
en désignant par
une fonction de
qu’il faudra déterminer d’une manière convenable.
Substituant cette valeur de
dans l’équation (7) et observant, équation (6), que, puisque
est une différentielle exacte, on doit avoir identiquement,
![{\displaystyle 0={\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}-\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00948e84556c572b4852848b5b04ed65de98df2c)
nous trouverons, réductions faites,
![{\displaystyle 0=\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{3}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f918ea1ea6e6a9d07b2e8e946e717ffae737f439)
ou, en intégrant