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${\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{1}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{2}}}=0,\ldots {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{i-1}}}=0,$

${\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{1}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{2}}}=0,\ldots {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i-1}}}=0\,;$

l’application du même procédé nous conduira aux résultats

$\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{i}}}=\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i}}},\qquad$(5)

$0={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i+1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i+2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m}}}.\qquad$(6)

Cette remarque nous sera utile dans la suite de ces recherches.

Lorsqu’on se sera assuré que $p$ est une différentielle exacte, les équations (3) et (4) offriront le moyen le plus simple pour remonter à son intégrale $P,$ par les quadratures seulement. Mais il nous reste à démontrer présentement que toute fonction différentielle qui satisfait identiquement aux dernières équations (3) et (4) est nécessairement par là même une différentielle exacte.

Premièrement, soit $u_{i},$ une fonction quelconque de

$x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{m},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},$

assujettie à la seule condition de satisfaire à l’équation

$A_{i}={\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}-\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}}.\qquad$(7)

dans laquelle $A_{i}$ est une quantité constante quelconque.

Cette équation peut se mettre sous la forme

${\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}=A_{i}+\operatorname {d} \left\{{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i-1}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}}\right\}\,;$