Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/21

Démonstration de deux théorèmes de géométrie,
énoncés à la page 248 du XIII.^e volume des Annales ;

Par M. Ch. Sturm

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

THÉORÈMES. Soit une lemniscate, lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du centre d’une hyperbole équilatère dont les diamètres principaux sont égaux à $2a$ sur les tangentes à la courbe. Sur l’axe transverse de cette hyperbole comme grand axe soit décrite une ellipse dont le petit axe soit égal à la distance entre ses foyers.

Désignons par $\mathrm {D}$ l’excès fini de l’asymptote infinie de l’hyperbole, comptée du centre, sur le quart infini de cette courbe, c’est-à-dire, sur la moitié de l’une de ses branches, comptée de son sommet. Soient en outre $\mathrm {q}$ le quart du périmètre de la lemniscate et $\mathrm {Q}$ le quart du périmètre de l’ellipse ; on aura

1.^o $D+q=Q{\sqrt {2}},\qquad$2.^o $Dq={\frac {\varpi }{4}}a^{2}.$

Démonstration. En représentant par $a$ et $b$ les deux demi-diamètres principaux d’une hyperbole, son équation est

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1\,;\qquad$(1)

l’équation de sa tangente en un point $(x',y')$ pris sur la courbe, est

${\frac {xx'}{a^{2}}}-{\frac {yy'}{b^{2}}}=1\,;\qquad$(2)

équation dans laquelle $x'$ et $y'$ sont liées par la condition

$\left({\frac {x'}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y'}{b}}\right)^{2}=1.\qquad$(3)