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Démonstration de deux théorèmes de géométrie,
énoncés à la page 248 du XIII.e volume des Annales ;
THÉORÈMES. Soit une lemniscate, lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du centre d’une hyperbole équilatère dont les diamètres principaux sont égaux à sur les tangentes à la courbe. Sur l’axe transverse de cette hyperbole comme grand axe soit décrite une ellipse dont le petit axe soit égal à la distance entre ses foyers.
Désignons par l’excès fini de l’asymptote infinie de l’hyperbole, comptée du centre, sur le quart infini de cette courbe, c’est-à-dire, sur la moitié de l’une de ses branches, comptée de son sommet. Soient en outre le quart du périmètre de la lemniscate et le quart du périmètre de l’ellipse ; on aura
Démonstration. En représentant par et les deux demi-diamètres principaux d’une hyperbole, son équation est
l’équation de sa tangente en un point pris sur la courbe, est
équation dans laquelle et sont liées par la condition