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En réfléchissant sur ce sujet, il nous a paru que les procédés du calcul différentiel, proprement dit, pouvaient, à eux seuls, conduire d’une manière assez simple aux conditions d’intégrabilité et à la démonstration de l’importante proposition de Lexell ; et c’est à le faire voir que nous destinons ce petit essai.

Dans tout ce qui va suivre, $x$ et $y$ seront des fonctions quelconques d’une troisième variable dont nous prenons la différentielle pour unité, et de tant de constantes qu’on voudra. Nous représenterons respectivement, pour abréger,

$\operatorname {d} x,\operatorname {d} ^{2}x,\operatorname {d} ^{3}x,\ldots \quad$par$\quad x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$

$\operatorname {d} y,\operatorname {d} ^{2}y,\operatorname {d} ^{3}y,\ldots \quad \$par$\quad y_{1},y_{2},y_{3},\ldots$

$P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,$ seront des fonctions quelconques de

$x,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{m-1},$

$y\,,y_{1}\,,y_{2}\,,y_{3}\,,\ldots ,y_{n-1},$

dont les différentielles seront respectivement $p,p_{1},p_{2},\ldots$

Cela posé, on a identiquement

$p={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}x_{1}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{1}}}x_{2}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{2}}}x_{3}+\ldots +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-1}}}$

$+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}y_{1}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{1}}}y_{2}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{2}}}y_{3}+\ldots +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{n-1}}}y_{n},$

et, par suite,