En réfléchissant sur ce sujet, il nous a paru que les procédés du calcul différentiel, proprement dit, pouvaient, à eux seuls, conduire d’une manière assez simple aux conditions d’intégrabilité et à la démonstration de l’importante proposition de Lexell ; et c’est à le faire voir que nous destinons ce petit essai.
Dans tout ce qui va suivre,
et
seront des fonctions quelconques d’une troisième variable dont nous prenons la différentielle pour unité, et de tant de constantes qu’on voudra. Nous représenterons respectivement, pour abréger,
![{\displaystyle \operatorname {d} x,\operatorname {d} ^{2}x,\operatorname {d} ^{3}x,\ldots \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8413d806fde00d2feed6bed9149fbb5b080c5cc1)
par
![{\displaystyle \quad x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c863af9cf6aaad49e4bc29b3595e8007335ca5)
![{\displaystyle \operatorname {d} y,\operatorname {d} ^{2}y,\operatorname {d} ^{3}y,\ldots \quad \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4d5abaea257c6faf74824964e9ffaa81387670)
par
![{\displaystyle \quad y_{1},y_{2},y_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30948d2163135f4400dc5a2766b5882fb3f5f71f)
seront des fonctions quelconques de
![{\displaystyle x,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{m-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6f2c3f260d2ba6e5c9a40941f9bf5669e4f334)
![{\displaystyle y\,,y_{1}\,,y_{2}\,,y_{3}\,,\ldots ,y_{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b476ec70cf6163a986321db869e7538f5f56f8)
dont les différentielles seront respectivement ![{\displaystyle p,p_{1},p_{2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a974b0b17ce3b1c66041314f91198e0839dd67f)
Cela posé, on a identiquement
![{\displaystyle p={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}x_{1}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{1}}}x_{2}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{2}}}x_{3}+\ldots +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c80bb88b0bc8a76540fc5760e9a40c3b3e54750)
![{\displaystyle +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}y_{1}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{1}}}y_{2}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{2}}}y_{3}+\ldots +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{n-1}}}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26e67daa2d6030ff643021ee24c8718a8483df3)
et, par suite,