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prouver que généralement non seulement l’équation $(\varphi )$ sera toujours intégrable ; mais que même ses deux membres le seront séparément et immédiatement, sans l’intervention d’aucun facteur. Si en effet on y met pour $\operatorname {d} z$ sa valeur $p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,$ elle devient, en changeant les signes,

${\frac {(P'-p)\operatorname {d} x+(Q'-q)\operatorname {d} y}{\lambda '{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}}}={\frac {(P''-p)\operatorname {d} x+(Q''-q)\operatorname {d} y}{\lambda ''{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}}},$

et alors les conditions d’intégrabilité de ses deux membres sont respectivement

${\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}{\frac {P'-p}{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}}={\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}{\frac {Q'-q}{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}},$

${\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}{\frac {P''-p}{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}}={\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}{\frac {Q''-q}{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}}$

or, nous avons vu (9) et (16) que ces conditions sont toujours satisfaites, lorsque les rayons (R’) et (R") sont normaux à une surface courbe ; ce qui est précisément le cas où nous nous trouvons ici.

Ainsi, deux surfaces courbes étant données et quelconques, on peut toujours, et même d’une infinité de manières différentes, trouver une surface réfléchissante ou séparatrice de deux milieux donnés, telle que des rayons incidens, normaux à l’une des deux surfaces données, après avoir été réfléchis ou réfractés, à la rencontre d’une telle surface, deviennent normaux à l’autre surface donnée^[1].

33. Soient maintenant des rayons incidens normaux à une même surface courbe, assujettis à un nombre quelconque de réflexions et de réfractions, à la rencontre d’une suite de surfaces quelconques, séparant des milieux également quelconques ; ces rayons en s’échap-

1. Ceci prouve de nouveau que la surface trajectoire orthogonale des rayons réfléchis ne saurait généralement être la même que la surface trajectoire orthogonale des rayons incidens.