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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$z=\operatorname {f} (x,y),\quad (s)\quad$d’où$\quad \operatorname {d} z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,\quad (\operatorname {d} s)$

la question se trouvera réduite à trouver $p,q,$ en fonction de $x,y,z$ que nous supposerons les coordonnées du point d’incidence.

En prenant la surface (s’) pour base du faisceau incident, les équations de ce faisceau seront

$X-x'+p'(Z-z')=0,\qquad Y-y'+q'(Z-z')=0\,;$

si l’on veut ensuite à cette base substituer la surface inconnue (s), il faudra (5) chercher les valeurs de $P',Q',$ en fonction de $x,y,z,$ au moyen de l’élimination de $x',y',z'$ entre les cinq équations

$\left.{\begin{array}{c}x-x'+P'(z-z')=0,\qquad Y-y'+Q'(z-z')=0,\\\\P'=p'\qquad \qquad Q'=q',\\\\z'=\operatorname {f} '(x',y').\end{array}}\right\}\quad (\tau ')$

Pareillement, en prenant la surface (s) pour base du faisceau réfléchi ou réfracté, les équations de ce faisceau seront

$X-x''+p''(Z-z'')=0,\qquad Y-y''+q''(Z-z'')=0\,;$

et, pour les ramener à la base inconnue (s), il faudra (5) déterminer $P'',Q'',$ en fonction de $x,y,z,$ au moyen de l’élimination de $x'',y'',z''$ entre les cinq équations

$\left.{\begin{array}{c}x-x''+P''(z-z'')=0,\qquad Y-y''+Q''(z-z'')=0,\\\\P''=p''\qquad \qquad Q''=q'',\\\\z''=\operatorname {f} ''(x'',y'').\end{array}}\right\}\quad (\tau '')$

Cela posé, les équations (III) du §. II donnent