d’où, en multipliant membre à membre, réduisant et ordonnant par rapport à ![{\displaystyle Z-z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045dc46f8dd5fdaad65543d6e0dd2a9edf04877d)
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}\left\{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\right\}(Z-z)^{2}\\\\-\left\{(1+pP){\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}+(1+qQ){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-qP{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}-pQ{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\right\}(Z-z)\\\\+(1+pP+qQ)=0.\end{array}}\right\}\quad (\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6164f6f28472821e3c86438ebcea8e152ee901)
Dans cette équation, la coordonnée
appartient toujours au point de contact qui d’ailleurs, se trouvant sur (D), doit satisfaire à ses équations. La recherche de l’équation du lieu des points de contact, c’est-à-dire, de l’équation de la surface à laquelle chacune des droites du faisceau se trouve deux fois tangente, se réduira donc simplement à éliminer
entre l’équation (S), les deux équations (D) et l’équation
C’est le procédé que nous avons promis (7).
Appliquons ce procédé au faisceau donné par les trois équations
![{\displaystyle x+y+z=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cf540e39f0e472ed3b4b86404f7c34f18f3267)
![{\displaystyle X-x+{\frac {2y-x}{z-c}}(Z-z)=0,\qquad Y-y+{\frac {2x-y}{z-c}}(Z-z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9e257003dd4dca363279d7f6bb17f7fb3a95c2)
Ayant ici
![{\displaystyle P={\frac {2y-x}{z-c}},\qquad Q={\frac {2x-y}{z-c}},\qquad p=q=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa44f3ee51c3f5c2301241b53147025065b7adc1)
on trouvera successivement
![{\displaystyle 1+pP={\frac {(z-c)-(2y-x)}{z-c}},\qquad qP=-{\frac {2y-x}{z-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44022496a56b1400146d22c87c7e230fd60d4ad)