Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/156

$x=y=-(z-c),$

ce qui est conforme (2) au mode de génération du faisceau.

9. Un faisceau de droites étant rappctté à une base déterminée quelconque, on peut désirer de reconnaître immédiatement s’il existe ou non des surfaces trajectoires orthogonales des droites dont ce faisceau se compose ; et c’est par la recherche de la condition de laquelle dépend cette circonstance que nous terminerons ce paragraphe. Nous venons déjà de voir qu’on devait avoir pour cela

${\frac {\operatorname {d} P'}{\operatorname {d} y'}}-{\frac {\operatorname {d} Q'}{\operatorname {d} x'}}=P'{\frac {\operatorname {d} Q'}{\operatorname {d} z'}}-Q'{\frac {\operatorname {d} P'}{\operatorname {d} z'}}\,;$

mais nous pouvons écrire simplement

${\frac {\operatorname {d} P'}{\operatorname {d} y'}}={\frac {\operatorname {d} Q'}{\operatorname {d} x'}},$

pourvu qu’il demeure entendu que dans $P'$ et $Q'$ on fera varier $z'$ comme fonction de $x'$ et $y'$. Avec cette attention, cette dernière équation revient en effet à

${\frac {\operatorname {d} P'}{\operatorname {d} y'}}+{\frac {\operatorname {d} P'}{\operatorname {d} z'}}q'={\frac {\operatorname {d} Q'}{\operatorname {d} x'}}+{\frac {\operatorname {d} Q'}{\operatorname {d} z'}}p',$

qui, en remettant pour $p'$ et $q'$ leurs valeurs $P'$ et $Q',$ rentre exactement dans la premitre.

Mais, comme nous avons (5)

$P'=P,\qquad Q'=Q,$

nous pourrons remplacer cette équation de condition par la suivante

${\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y'}}={\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x'}}\,;\qquad (\alpha )$