![{\displaystyle P=-{\frac {(z-c)+(2x-y)}{2(z-c)+(x+y)}},\quad Q=-{\frac {(z-c)+(2y-x)}{2(z-c)-(x+y)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35627ff345c9ca29ce80d400cc1cb05c932272c2)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}=3.{\frac {(z-c)+x}{\left\{2(z-c)+(x+y)\right\}^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}=3.{\frac {(z-c)+y}{\left\{2(z-c)+(x+y)\right\}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebcb2d09939a5093170fd9d1783a676bf10fefa3)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} z}}=-3.{\frac {x-y}{\left\{2(z-c)+(x+y)\right\}^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} z}}=+3.{\frac {x-y}{\left\{2(z-c)+(x+y)\right\}^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81171768d585838510c54fe6669b67d264cc6a8)
et de là
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}=P{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} z}}-Q{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} z}}=3.{\frac {x-y}{\left\{2(z-c)+(x+y)\right\}^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e12256ea39fd48c0656d0b2f18ec3baba25d8f)
la condition d’intégrabilité se trouve donc ici satisfaite, comme on pouvait bien s’y attendre (2) ; l’équation des surfaces trajectoires orthogonales de toutes les droites du faisceau est donc l’intégrale de l’équation différentielle
![{\displaystyle \left\{(z-c)+(2x-y)\right\}\operatorname {d} x+\left\{(z-c)+(2y-x)\right\}\operatorname {d} y+\left\{2(z-c)+(x+y)\right\}\operatorname {d} z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71fbcddd74f57e2b34af3a4a5d1d4fa927682bb8)
On peut la mettre sous cette forme
![{\displaystyle (x+z-c)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} z)+(y+z-c)(\operatorname {d} y+\operatorname {d} z)+(x-y)(\operatorname {d} x-\operatorname {d} y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ad661d1149f58b7b1fdd0672d8056c6bc9ce83)
ou, en multipliant par 2,
![{\displaystyle \operatorname {d} .(x+z-c)^{2}+\operatorname {d} .(y+z-c)^{2}+\operatorname {d} .(x-y)^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d547085c7a79dccdf19cb79558b53a21b11a08)
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle (x+z-c)^{2}+(y+z-c)^{2}+(x-y)^{2}=r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cf71f18245746ade47efce6bea10ee234aec75)
étant la constante arbitraire. Les droites du faisceau sont donc normales à une série de cylindres concentriques, dont l’axe commun est donné par la double équation