![{\displaystyle 2(z'-c)x-2\left\{(z'-c)+(x'+y')\right\}y=x'\left\{(z'-c)-(x'+y')\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de428c465693a5c9f3c75704dbd6ce9216fa1d46)
![{\displaystyle 2(z'-c)y-2\left\{(z'-c)+(x'+y')\right\}x=y'\left\{(z'-c)-(x'+y')\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abaf65c03f9c7e9aa1ec1e049fd3055785a9b43e)
d’où
![{\displaystyle x=-{\frac {1}{2}}.{\frac {(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}\left\{(z-c)+y\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb24d8ce9c25544cd2041363eb588d29b0611bd)
![{\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}.{\frac {(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}\left\{(z'-c)+x'\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25db661ec2506b2918829a9e801e34f9270e8803)
et de là
![{\displaystyle 2y-x=-{\frac {1}{2}}.{\frac {(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}\left\{(z'-c)+(2x'-y')\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df03df8dcd9bcd35a94da66094f70f77a60ff20)
![{\displaystyle 2x-y=-{\frac {1}{2}}.{\frac {(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}\left\{(z'-c)+(2y'-x')\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090d4a7802e507e2fcbf831b851f0bceab3e10a2)
donc
![{\displaystyle P'={\frac {2y-x}{z-c}}=-{\frac {(z'-c)+(2x'-y')}{2(z'-c)+(x'+y')}},\quad Q'={\frac {2x-y}{z-c}}=-{\frac {(z'-c)+(2y'-x')}{2(z'-c)+(x'+y')}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1db988c00b95cafbc5ca7b04ba45803275850e0a)
comme ci-dessus. Ainsi, les droites du faisceau pourront simplement être exprimées par les deux équations
![{\displaystyle X-x'-{\frac {(z'-c)+(2x'-y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}(Z-z')=0,\quad Y-y'-{\frac {(z'-c)+(2y'-x')}{2(z'-c)+(x'+y')}}(Z-z'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c0cf0e4625dc99943ad1a2849965fd3903773a)
où les trois coordonnées
sont tout-à-fait indépendantes les unes des autres.
Du moment qu’on est ainsi parvenu à exprimer les droites d’un faisceau en coordonnées indépendantes les unes des autres, on peut établir entre ces coordonnées quelle relation on voudra ; ce qui revient évidemment à donner au faisceau une nouvelle base tout-à-fait arbitraire. On pourra donc choisir cette base de manière à rendre les fonctions
et
les plus simples possibles, et notamment à en faire disparaître les irrationnels. On pourra donc la choisir aussi de telle sorte qu’elle ait une situation déterminée par rapport aux droites dont le faisceau se compose.