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$2a=\mathrm {CG+CH} =k\left\{{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )}}+{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .(\beta -\alpha )}}\right\}$

$=2k{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\beta -\alpha )}},$

d’où

$a=k.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\beta -\alpha )}}.$

En outre, en représentant par $2b$ le second axe, on devra avoir

$\mathrm {\frac {{\overline {CD}}^{2}}{CG.CH}} ={\frac {b^{2}}{a^{2}}},$

d’où

$b^{2}=a^{2}.\mathrm {\frac {{\overline {CD}}^{2}}{CG.CH}} \,;$

substituant donc, et extrayant la racine quarrée, on trouvera

$b=k.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta }{\sqrt {\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\beta -\alpha )}}}.$

Si ensuite on désigne le paramètre par $p,$ on aura, comme l’on sait,

$p={\frac {2b^{2}}{a}}=2k\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta .$

Désignant encore par $e$ l’excentricité, on aura

$e^{2}=a^{2}-b^{2}=k^{2}.{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .^{2}\beta \operatorname {Cos} .^{2}\beta }{\operatorname {Sin} .^{2}(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .^{2}(\beta -\alpha )}},$

d’où

$e=k.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\beta -\alpha )}}\,;$

d’après quoi le rapport de l’excentricité au demi-grand axe sera

${\frac {e}{a}}={\frac {\operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Cos} .\alpha }}.$

Si l’on désigne par $c$ la distance d’un sommet au foyer le plus voisin, on aura

$c=a-e=k.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta (\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta )}{\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\beta -\alpha )}},$

ou encore