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On trouve, en premier lieu,

${\frac {a\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x\operatorname {Cos} .5y}{5}}-\ldots$

$={\frac {1}{4}}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Tang} .={\frac {4a\left(1-a^{2}\right)\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{\left(1+a^{2}\right)-4a^{2}\left(\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .^{2}y\right)}}\right\}.$

Dans le cas de $y=0$ ou $\operatorname {Cos} .y=1,$ cette somme devient celle de la première de nos trois séries, quoique sous une forme un peu différente.

On trouve, en second lieu,

${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots$

$={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\sqrt {\left(1+a^{2}\right)^{2}-4a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}x}}-a^{2}\right)$

qui se change immédiatement dans la seconde série, lorsqu’on, fait $a=1.$

Si, dans ces diverses séries, on attribue à $x,y,a$ des valeurs particulières, on en fera dériver une multitude d’autres plus ou moins remarquables. La troisième, par exemple, en supposant $y=x,$ devient

${\frac {\operatorname {Cos} ^{2}.x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .x.$

On trouve, plus généralement,

${\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{4}}\operatorname {Log} .\left\{\left(1-a^{2}\right)^{2}+4a\left(1+a\right)^{2}\operatorname {Cos} .^{2}x\right\}.$

Rome (mai 1823).