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III. Pour sommer la troisième série

$S={\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-\ldots ,$

faisant d’abord, comme ci-dessus,

$\operatorname {Cos} .x={\frac {1}{2}}(u+v),\qquad uv=1\,;$

en posant

${\begin{aligned}&U={\frac {u\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {u^{2}\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {u^{3}\operatorname {Cos} .3y}{3}}-{\frac {u^{4}\operatorname {Cos} .4y}{4}}+\ldots ,\\\\&V={\frac {v\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {v^{2}\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {v^{3}\operatorname {Cos} .3y}{3}}-{\frac {v^{4}\operatorname {Cos} .4y}{4}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

nous aurons

L’erreur de cet habile géomètre paraît provenir de ce qu’après avoir posé (page 356)

$\operatorname {Sin} .P=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,$

il en conclut ensuite

$\operatorname {Cos} .P={\sqrt {-2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x}},$

tandis qu’on doit avoir

$\operatorname {Cos} .P={\sqrt {2\operatorname {Sin} .x\left(\operatorname {Sin} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .x\right)}}.$

On est facilement exposé à ces sortes de méprises par l’emploi explicite des imaginaires, à raison de la complication des calculs. La méthode que nous employons ici n’est pas sujette à cet inconvénient.

Il y a, au surplus, une faute d’impression à la page 360, où le cosinus est devenu un sinus.