Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/93

89

INDÉTERMINÉES.

$\left\{\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)z'+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)y'\right\}(y'z''-z'y'')-\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)x'(z'x''-x'z'')$

$=\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)x'(x'y''-y'x'')\,;$

d’où l’on tire, en éliminant et réduisant de nouveau,

$z'x''-x'z''={\frac {y'}{z'}}(x'y''-y'x''),\qquad y'z''-z'y''={\frac {x'}{z'}}(x'y''-y'x'')\,;$

mais il est connu que le plan osculateur de la courbe au point $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ a pour équation

$(y'z''-z'y'')(x-\alpha )+(z'x''-x'z'')(y-\beta )+(x'y''-y'x'')(z-\gamma )=0,$

en y mettant donc ces valeurs et divisant ensuite par $x'y''-y'x'',$ cette équation deviendra simplement

$x'(x-\alpha )+y'(y-\beta )+z'(z-\gamma )=0\,;$

mais si, par ce même point, on mène un plan tangent à la surface sur laquelle cette courbe est tracée, l’équation de ce plan sera, comme l’on sait,

$\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)(x-\alpha )+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)(y-\beta )+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)(z-\gamma )=0\,;$

puis donc qu’on a, comme nous l’avons vu tout à l’heure,

$\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)x'+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)y'+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)z'=0,$

il en faut conclure qu’en chaque point de la courbe, son plan osculateur est perpendiculaire au plan tangent au même point de la